Podstawy fizyki fal

Ponieważ będziemy zajmować się analizą dźwięku i obrazu, wypada zacząć od omówienia podstawowych własności fal. W szczególności fal akustycznych i świetlnych.

 Pojęcie fali

Ze zjawiskiem ruchu falowego spotykamy się na co dzień. Wszyscy znamy łatwe do zaobserwowania fale na wodzie. Każdy też kiedyś zauważył jak wytworzyć falę na sznurku. Ponadto istnieją fale głosowe, świetlne, radiowe i wiele innych.

             

Ilustracja 1. Przykłady fal, które możemy zaobserwować w przyrodzie.

Fale ze względu na swój charakter możemy podzielić na trzy grupy:

  1. Fala mechaniczna - fala rozchodzi się w pewnym ośrodku. Fala przenoszona jest przez przekazywanie zaburzenia od jednej cząsteczki ośrodka do następnego, np. fala dźwiękowa,
  2. Fala elektromagnetyczna - drgania ośrodka nie są konieczne, a drgania dotyczą wektora pola elektrycznego i magnetycznego, np. fala świetlna,
  3. Fala materii.

Zacznijmy od omówienie fali mechanicznej. Jako definicję fali mechanicznej możemy przyjąć:

Fala mechaniczna jest to zaburzenie rozchodzące się w ośrodku sprężystym i przenoszące energię, a polegające na drganiu cząsteczek wokół położenia równowagi.

Fale mechaniczne możemy podzielić na:

  1. Fala podłużna - fala, w której drgania odbywają się w kierunku zgodnym z kierunkiem jej rozchodzenia się. Przykładem fali podłużnej jest fala dźwiękowa Fala podłużna.
  2. Fala poprzeczna -- fala, w której kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali Fala poprzeczna.

Parametry fal

Omówmy sobie podstawowe parametry opisujące fale. Będzie to później przydatne do zrozumienia mechanizmu działania ludzkich zmysłów oaz idei stojącej za analizą dźwięku.

Parametry fali:

  1. amplituda - maksymalne odchylenie $A$ od położenia równowagi,

  2. długość fali - odległość $\lambda$ pomiędzy kolejnymi powtórzeniami kształtu fali (np. grzbiety doliny),

  3. przesunięcie fazowe - $\phi$,

  4. okres - odstęp czasu $T$ między momentami, gdy grzbiety (doliny) dwóch sąsiadujących fal przechodzą przez ten sam punkt,

  5. częstotliwość - ilość grzbietów (dolin), które w czasie jednej sekundy, przechodzą przez ten sam punkt (odwrotność okresu),

  6. prędkość fazowa - w czasie równym $T$ fala pokonuje dystans $\lambda$, zatem prędkość z jaką przemieszcza się fala: 
    \[ v = \frac{\lambda}{T} \]

Równanie fali

Teraz możemy (w dużym skrócie) wyprowadzić równanie fali. 

 

Rozważmy sobie falę w dwóch sekwencjach lub alternatywnie w dwóch chwilach czasowych (jak na powyższej ilustracji). W takim przypadku mamy do czynienia z periodyczną (okresową) funkcją, która zależy od czasu $t$ oraz położenia $x$. 

Rozważając falę w chwili $t_0$ (ciągła linia na powyższym wykresie) otrzymamy wzór oparty na maksymalnym wychyleniu $y_{max}$ (amplituda fali) przemnożonym przez funkcję  $\sin(2 \pi x)$. Dlaczego akurat sinus? Wynika to z tego, że chcemy aby nasza funkcja była okresowa i chcemy, żeby zawsze gdy wartość $x$ jest równa całkowitej wielokrotności $n \lambda$ otrzymana została wartość fazy w tym równaniu. W konsekwencji możemy podać wzór opisujący powtarzalność odpowiadającą ruchowi falowemu:

\[ y(x,t_0)=y_{max}\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x). \]

Możemy teraz rozważyć równanie fali w chwili $t$ (po upływie krótkiego okresu czasu - przerywany wykres). W czasie, który upłyną, fala przebyła drogę która równa się $vt$ (prędkość razy czas), a więc nasza funkcja opisana jest następującym wzorem:

\[ y(x,t)=y_{max}\sin(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt)).  \]

Po podstwieniu wzoru na prędkość fali

\[ v=\frac{\lambda}{T} \]

otrzymujemy

\[ y(x,t)=y_{max}\sin(2\pi(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T})). \]

Wprowadźmy pojęcie liczby falowej $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ (ułatwia to zapis) oraz dokonajmy podstawienia  $\omega = \frac{2\pi}{T}$ (prędkość  kontowa) dostajemy:

\[ y(x,t)=y_{max}\sin(kx-\omega t). \]

Równanie to opisuje zaburzenie (falę płaską), które przemieszcza się w kierunku plus $x$ i które jest periodyczne względem położenia i czasu.

Zauważmy, że jeżeli ustalimy $x$ (za $x$ wybierzemy konkretną wartość - tzn. będziemy obserwować drgania jednej wybranej cząstki), wtedy zmieniać się będzie tylko czas $t$. Otrzymamy zależność wychylenia jednej cząstki od czasu. Natomiast gdy ustalimy $t$ (tzn. wybierzemy konkretną chwilę obserwacji) zmienia się $x$. Otrzymamy wtedy fotograficzny obraz wychylenia wszystkich cząstek ośrodka w danej chwili. 

Interferencja fal

Interferencja fal to zjawisko powstawania nowej fali (wzmocnionej lub wygaszonej) w wyniku nakładania się dwóch lub więcej fal. Warunkiem trwałej interferencji fal jest ich spójność, czyli korelacja faz i częstotliwości Interferencja fal.

Fala stojąca

Fala stojąca – fala, której grzbiety i doliny nie przemieszczają się. Fala stojąca powstaje na skutek interferencji dwóch takich samych fal poruszających się w przeciwnych kierunkach. Zwykle efekt ten powstaje np. poprzez nałożenie na falę biegnącą fali odbitej Fala stojąca.

Ilustracja. Fala stojąca (czarna) będąca złożeniem dwóch fal biegnących w tym samym kierunku, ale o przeciwnych zwrotach (czerwona i niebieska).

Poniższe filmiki mogą pomóc w zrozumieniu, co to jest fala stojąca.

Dzięki falom stojącym możemy uzyskiwać poszczególne tony. Różne instrumenty muzyczne wytwarzają fale stojące (pojedyncze dźwięki z gamy na różne sposoby). Przykład instrumentów dętych jest opisany w poniższym filmiku.

Fale dźwiękowe

W taki sposób doszliśmy do fal dźwiękowych (akustycznych).

Fala akustyczna -- to rozchodzące się w ośrodku zaburzenie gęstości (i ciśnienia) w postaci fali podłużnej, któremu towarzyszą drgania cząsteczek ośrodka.

Falę akustyczną nazywa się zarówno falą, która powoduje wrażenie słuchowe (dźwięk), jak i fale o częstotliwościach i amplitudach przekraczających zakres ludzkich zmysłów, ponieważ właściwości fizyczne tych fal są bardzo podobne Fala akustyczna.

Fale dźwiękowe w powietrzu rozchodzą się jako fale podłużne. Prędkość fali dźwiękowej zależny od ośrodka w którym się ona porusza.

Prędkości fal w różnych ośrodkach:

  • powietrze ($20^{0}$ C) -- $343$ $\frac{m}{s}$
  • woda -- $1493$ $\frac{m}{s}$
  • miedź -- $3560$ $\frac{m}{s}$

Prędkość dźwięku w powietrzu zależy od temperatury:

\[ v= 331 \frac{m}{s} \sqrt{1+\frac{T_{C^0}}{273^{0}C} }. \]

Dźwięki ze względu na częstotliwość $f$ dzielimy na:

  • infradźwięki – poniżej $16$ Hz,
  • dźwięki słyszalne $16$ Hz – $20$ kHz – słyszy je większość ludzi,
  • ultradźwięki – powyżej 20 kHz,
  • hiperdźwięki – powyżej $10^{10}$ Hz.

 Zakres słyszalności fal o różnej długości i częstotliwości dla ludzi i zwierząt prezentuje poniższa ilustracja.

Fala świetlna

Wśród wymienionych na początku tego rozdziału fal znajdują się fale świetlne i radiowe. Jakkolwiek do ich opisu używa się takich samych wielkości, jak dla fal mechanicznych, jednak są to zupełnie inne fale. Światło dochodzi do naszej planety z przestrzeni kosmicznej, w której panuje próżnia. Stąd wniosek, że fale te, w przeciwieństwie do fal mechanicznych, mogą rozchodzić się w próżni. Światło i fale radiowe należą do fal elektromagnetycznych. Fale elektromagnetyczne są to rozchodzące się w przestrzeni zaburzenia pola elektromagnetycznego.

Światłem lub promieniem świetlnym nazywamy fale elektromagnetyczne, których długości w próżni leżą w zakresie od 10 nm do 1 mm (są to granice umowne).

Dyfrakcja (ugięcie fali)

Dyfrakcja (ugięcie fali) to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko zachodzi niezależnie od wielkości przeszkody, ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali Dyfrakcja.

Dyspersja świetlna (rozszczepienie)

Rozszczepienie światła w fizyce to zjawisko rozdzielenia się fali świetlnej na składowe o różnej długości Rozszczepienie światła.

 

Polaryzacja światła

Polaryzacja – właściwość fali poprzecznej polegająca na zmianach kierunku oscylacji rozchodzącego się zaburzenia w określony sposób Polaryzacja fali.